Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，M、N分别是边AB、AC的中点，在射线MN上取点D，使∠ADM=∠BAC，连接AD．
（1）如图1，当BC=3时，求DM的长．

（2）如图2，以AB为底边在AB的左侧作等腰△ABE，并且使顶角∠AEB=2∠BAC，连接EM．

①判断四边形AEMD的形状，并说明理由．
②设BC=x（x＞0），四边形AEMD的面积为y，试用含x的式子表示y，并说明是否存在x的值，使得四边形AEMD的面积等于△ABC的面积？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1中，

∵AM=MB，AN=NC，

∴MN∥BC，MN= BC= ，

∴∠ANM=∠C=90°，

∴∠AMN+∠MAN=90°，

∵∠MAN=∠D，

∴∠AMN+∠D=90°，

∴∠MAD=90°，

∵∠ANM=∠AND=90°，∠MAN=∠D，

∴△MAN∽△ADN，

∴ = ，

∴ = ，

∴DN=6，

∴DM=MN+DN= +6= ．

（2）

解：①如图2中，结论：四边形AEMD是平行四边形．

∵EA=EB，AM=BM，

∴EM⊥AB，∠MEB=∠MEA，

由（1）可知AD⊥AB，

∴EM∥AD，

∵∠AEM+∠EAM=90°，

∵∠AEB=2∠BAC，

∴∠AEM=∠BAC，

∴∠BAC+∠EAM=90°，

∴∠EAC=90°=∠MNC，

∴AE∥DM，

∴四边形AEMD是平行四边形．

②∵△MAN∽△ADN，

∴ = ，

∴ = ，

∴DN= ，

∴DM=MN+DN= + ，

∴S四边形AEMD=DMAN=（ + ）3= x+ ．

假设存在x，使得四边形AEMD的面积等于△ABC的面积，

则有 x+ = x6，

整理得x2﹣2x+36=0，

∵△=（﹣2）2﹣4×1×36＜0，

∴方程无解，假设不成立．

∴不存在使得四边形AEMD的面积等于△ABC的面积的x的值．

【解析】（1）只要证明△MAN∽△ADN，可得 = ，由此求出DN即可解决问题；（2）①结论：四边形AEMD是平行四边形．分别证明EM∥AD，AE∥DM即可；②由△MAN∽△ADN，可得 = ，即 = ，求出DN，即可解决问题．利用反证法证明不存在x的值，使得四边形AEMD的面积等于△ABC的面积；
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的应用的相关知识，掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．