Question

【题目】平行四边形可以看成是线段平移得到的图形，如图1，将线段AD沿AB的方向平移AB个单位至BC处，就可以得到平行四边形ABCD，或者将线段AB沿AD的方向平移AD个单位至DC处，也可以得到平行四边形ABCD．

（1）在图2，图3，图4中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标，写出图2，图3，图4中的顶点C的坐标，它们分别是_____，_______，_______；

（2）通过对图2，3，4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A（a，b），B（c，d），C（m，n），D（e，f）（如图5）时，则四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为______；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为_______（不必证明）；

（3）如图6，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，0），B（3，0），C（2，4），则以A，B，C三个点为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为______．

Answer 1

【答案】（1）（5，2），（e+c，d），（c+e﹣a，d）；（2）m＝c+e﹣a；n＝d+f﹣b；（3）（8，4）或（﹣2，﹣4）或（﹣4，4）．

【解析】

（1）根据平行四边形的性质：对边平行且相等，求解即可；

（2）如图作辅助线，证明△BEA≌△CFD（AAS），推出AE＝DF＝c﹣a，BE＝CF＝d﹣b，又已知C点的坐标为（m，n），可得m＝e＋c﹣a，n＝d﹣b＋f；

（3）由（2）的结论即可得出答案．

解：（1）由平行四边形的性质和平移的性质得：图1、图2，3中顶点C的坐标分别是：（5，2）、（e+c，d），（c+e﹣a，d），

故答案为：（5，2）、（e+c，d），（c+e﹣a，d）；

（2）分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A'，B'，C'，D'，

分别过A，D作AE⊥BB'于E，DF⊥CC'于点F．

在平行四边形ABCD中，CD＝BA，CD∥BA，

∴，

在△BEA和△CFD中，，

∴△BEA≌△CFD（AAS），

则AE＝DF＝c﹣a，BE＝CF＝d﹣b，

∵C点的坐标为（m，n），

∴m＝e＋c﹣a，n＝d﹣b＋f，即m＝c+e﹣a；n＝d+f﹣b

故答案为：m＝c+e﹣a；n＝d+f﹣b；

（3）∵四边形ABCD是平行四边形，A（﹣3，0），B（3，0），C（2，4），

由（2）得：m＝c+e﹣a；n＝d+f﹣b，

∴点D的坐标为（3+2+3，0+4﹣0）或（﹣3+3﹣2，0+0﹣4）或（﹣3+2﹣3，0+4-0）；

即点D坐标为（8，4）或（﹣2，﹣4）或（﹣4，4）．

故答案为：（8，4）或（﹣2，﹣4）或（﹣4，4）．