Question

【题目】如图，△ABC中，AB= ，AC=5，tanA=2，D是BC中点，点P是AC上一个动点，将△BPD沿PD折叠，折叠后的三角形与△PBC的重合部分面积恰好等于△BPD面积的一半，则AP的长为 ．

Answer 1

【答案】2或5﹣
【解析】解：分两种情况：①当点B′在AC的下方时，如图1，

∵D是BC中点，

∴S△BPD=S△PDC，

∵S△PDF= S△BPD，

∴S△PDF= S△PDC，

∴F是PC的中点，

∴DF是△BPC的中位线，

∴DF∥BP，

∴∠BPD=∠PDF，

由折叠得：∠BPD=∠B′PD，

∴∠B′PD=∠PDF，

∴PB′=B′D，

即PB=BD，

过B作BE⊥AC于E，

Rt△ABE中，tan∠A= =2，

∵AB= ，

∴AE=1，BE=2，

∴EC=5﹣1=4，

由勾股定理得：BC= = =2 ，

∵D为BC的中点，

∴BD= ，

∴PB=BD= ，

在Rt△BPE中，PE=1，

∴AP=AE+PE=1=1=2；②当点B'在AC的上方时，如图2，连接B′C，

同理得：F是DC的中点，F是PB′的中点，

∴DF=FC，PF=FB′，

∴四边形DPCB′是平行四边形，

∴PC=B′D=BD= ，

∴AP=5﹣ ，

综上所述，AP的长为2或5﹣ ；

所以答案是：2或5﹣ ．

【考点精析】利用翻折变换（折叠问题）和解直角三角形对题目进行判断即可得到答案，需要熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．