Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AE=4，cosA= ，求DF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，

，

∵OB=OD，

∴∠ODB=∠B，

又∵AB=AC，

∴∠C=∠B，

∴∠ODB=∠C，

∵DF⊥AC，

∴∠DFC=90°，

∴∠ODF=∠DFC=90°，

∴DF是⊙O的切线．

（2）解：AG= AE=2，

∵cosA= ，

∴OA= = =5，

∴OG= = ，

∵∠ODF=∠DFG=∠OGF=90°，

∴四边形OGFD为矩形，

∴DF=OG= ．

【解析】（1）证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，推出∠ODB=∠C；然后根据DF⊥AC，∠DFC=90°，推出∠ODF=∠DFC=90°，即可推出DF是⊙O的切线．（2）首先判断出：AG= AE=2，然后判断出四边形OGFD为矩形，即可求出DF的值是多少．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰三角形的性质的相关知识，掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角），以及对解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．