Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知直线和与轴分别相交于点和点，设两直线相交于点，点为的中点，点是线段上一个动点（不与点和重合），连结，并过点作交于点．

（）判断的形状，并说明理由．

（）当点在线段上运动时，四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

（）当点的横坐标为时，在轴上找到一点使得的周长最小，请直接写出点的坐标．

Answer 1

【答案】（）等腰直角三角形，理由见解析；（）定值为8；（ ）

【解析】试题分析：（1）分别求出A、B、C三点坐标以及AC、AB、BC的长，即可得出的形状；

（2），可知四边形的面积是定值；

（3）利用轴对称的性质即可求解.

解：（）由题意可知， ，令，则， ，

∴，则， ， ，则，且，

∴为等腰直角三角形．

（）由题意知，即，连结，过点作于， 于，

∴，

∵，

∴，

∵， ，

∴， 平分，

∴，

∵，

∴≌，

∴，

∴，是定值．

（）当时， ，

∴，

∴，

∴，

则要使周长最小，即只需时最小，又两点之间线段最短，

∴设关于轴的对称点，

∴，令， ，

∴．