Question

【题目】已知抛物线y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=﹣ x+b与抛物线的另一个交点为D．

（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；
（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒 个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=a（x+3）（x﹣1），

∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），

∵直线y=﹣ x+b经过点A，

∴b=﹣3 ，

∴y=﹣ x﹣3 ，

当x=2时，y=﹣5 ，

则点D的坐标为（2，﹣5 ），

∵点D在抛物线上，

∴a（2+3）（2﹣1）=﹣5 ，

解得，a=﹣ ，

则抛物线的解析式为y=﹣ （x+3）（x﹣1）=﹣ x2﹣2 x+3

（2）

解：如图1中，作PH⊥x轴于H，设点 P坐标（m，n），

当△BPA∽△ABC时，∠BAC=∠PBA，

∴tan∠BAC=tan∠PBA，即 = ，

∴ = ，即n=﹣a（m﹣1），

∴ 解得m=﹣4或1（舍弃），

当m=﹣4时，n=5a，

∵△BPA∽△ABC，

∴ = ，

∴AB2=ACPB，

∴42= ，

解得a=﹣ 或 （舍弃），

则n=5a=﹣ ，

∴点P坐标（﹣4，﹣ ）．

当△PBA∽△ABC时，∠CBA=∠PBA，

∴tan∠CBA=tan∠PBA，即 = ，

∴ = ，

∴n=﹣3a（m﹣1），

∴ ，

解得m=﹣6或1（舍弃），

当m=﹣6时，n=21a，

∵△PBA∽△ABC，

∴ = ，即AB2=BCPB，

∴42= ，

解得a=﹣ 或 （不合题意舍弃），

则点P坐标（﹣6，﹣3 ），

综上所述，符合条件的点P的坐标（﹣4，﹣ ）和（﹣6，﹣3 ）．

（3）

解：如图2中，作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，

则tan∠DAN= = = ，

∴∠DAN=60°，

∴∠EDF=60°，

∴DE= = EF，

∴Q的运动时间t= + =BE+EF，

∴当BE和EF共线时，t最小，

则BE⊥DM，此时点E坐标（1，﹣4 ）

【解析】（1）根据二次函数的交点式确定点A、B的坐标，进而求出直线AD的解析式，接着求出点D的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式确定a的值；（2）由于没有明确说明相似三角形的对应顶点，因此需要分情况讨论：①△ABC∽△BAP；②△ABC∽△PAB；（3）作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，根据正切的定义求出Q的运动时间t=BE+EF时，t最小即可．