Question

【题目】如图1, O为正方形ABCD的中心，分别延长OA，OD到点F，E，使OF=2OA，OE=2OD，连接EF，将△FOE绕点O按逆时针方向旋转角α得到△FOE，连接AE，BF(如图2).

（1）探究AE与BF的数量关系，并给予证明;

（2）当α=30°时，求证: △AOE为直角三角形.

Answer 1

【答案】（1）AE=BF，理由见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）利用旋转不变量找到相等的角和线段，证得△E′AO≌△F′BO后即可证得结论；

（2）利用已知角，得出∠GAE′=∠GE′A=30°，从而证明直角三角形．

试题解析：（1）证明：∵O为正方形ABCD的中心，

∴OA=OD，

∵OF=2OA，OE=2OD，

∴OE=OF，

∵将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E′OF′，

∴OE′=OF′，

∵∠F′OB=∠E′OA，OA=OB，

在△E′AO和△F′BO中，

，

∴△E′AO≌△F′BO，

∴AE′=BF′；

（2）证明：∵取OE′中点G，连接AG，

∵∠AOD=90°，α=30°，

∴∠E′OA=90°-α=60°，

∵OE′=2OA，

∴OA=OG，

∴∠E′OA=∠AGO=∠OAG=60°，

∴AG=GE′，

∴∠GAE′=∠GE′A=30°，

∴∠E′AO=90°，

∴△AOE′为直角三角形．