Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E．

（1）求证：△BOC≌△CED；

（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当B'C'经过点D时，求△BCD平移的距离及点D的坐标；

（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（3）存在，点P的坐标为（0，）或（0，）

【解析】

（1）利用同角的余角相等可得出∠OBC=∠ECD，由旋转的性质可得出BC=CD，结合∠BOC=∠CED=90°即可证出△BOC≌△CED（AAS）；

（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，设OC=m，则点D的坐标为（m+3，m），利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m值，进而可得出点C，D的坐标，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，结合B′C′∥BC及点D在直线B′C′上可求出直线B′C′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C′的坐标，结合点C的坐标即可得出△BCD平移的距离；

（3）设点P的坐标为（0，m），点Q的坐标为（n，-n+3），分CD为边及CD为对角线两种情况考虑，利用平行四边形的对角线互相平分，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出点P的坐标．

（1）证明：∵∠BOC=∠BCD=∠CED=90°，

∴∠OCB+∠OBC=90°，∠OCB+∠ECD=90°，

∴∠OBC=∠ECD．

∵将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，

∴BC=CD．

在△BOC和△CED中，，

∴△BOC≌△CED（AAS）．

（2）解：∵直线y=-x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，

∴点B的坐标为（0，3），点A的坐标为（6，0）．

设OC=m，

∵△BOC≌△CED，

∴OC=ED=m，BO=CE=3，

∴点D的坐标为（m+3，m）．

∵点D在直线y=-x+3上，

∴m=-（m+3）+3，解得：m=1，

∴点D的坐标为（4，1），点C的坐标为（1，0）．

∵点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（1，0），

∴直线BC的解析式为y=-3x+3．

设直线B′C′的解析式为y=-3x+b，

将D（4，1）代入y=-3x+b，得：1=-3×4+b，解得：b=13，

∴直线B′C′的解析式为y=-3x+13，

∴点C′的坐标为（，0），

∴CC′=-1=，

∴△BCD平移的距离为．

（3）解：设点P的坐标为（0，m），点Q的坐标为（n，-n+3）．

分两种情况考虑，如图3所示：

①若CD为边，当四边形CDQP为平行四边形时，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，-n+3），

∴，解得： ，

∴点P1的坐标为（0，）；

当四边形CDPQ为平行四边形时，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，-n+3），

∴，解得：，

∴点P2的坐标为（0，）；

②若CD为对角线，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，-n+3），

∴，解得：，

∴点P的坐标为（0，）．

综上所述：存在，点P的坐标为（0，）或（0，）．