Question

【题目】如图，抛物线y=﹣（x+1）（x﹣m）交x轴于A，B两点（A在B的左侧，m＞0），交y轴正半轴于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点E，抛物线的对称轴交CE于点F，以C为圆心画圆，使⊙C经过点（0，2）．

（1）直接写出OB，OC的长．（均用含m的代数式表示）
（2）当m＞2时，判断点E与⊙C的位置关系，并说明理由．
（3）当抛物线的对称轴与⊙C相交时，其中下方的交点为D．连结CD，BD，BC．
①当m＞3，且C，D，B三点在同一直线上时，求m的值．
②当△BCD是以CD为腰的等腰三角形时，求m的值．（直接写出答案即可）

Answer 1

【答案】
（1）

解：由抛物线y=﹣（x+1）（x﹣m）可知A（﹣1，0），B（m，0），

∴OB=m，

令x=0，求得y=m，

∴C（0，m），

∴OC=m

（2）

解：∵OA=1，OB=m，

∴CE=m﹣1，

∵⊙C经过点（0，2），

∴⊙C的半径为m﹣2，

∵m﹣2＜m﹣1，

∴点E在⊙C外

（3）

解：①∵OB=OC=m，

∴△BOC是等腰直角三角形，

∴∠OCB=45°，

∴∠BCE=45°，

∵C，D，B三点在同一直线上，

∴△CDF是等腰直角三角形，

∴CD= CF，即m﹣2= ，

解得m=3+ ；

②∵CD=m﹣2，CF= ，

∴FD= = ，

∴D（ ，m﹣ ），

∵△BCD是以CD为腰的等腰三角形，

∴D在直线BC的垂直平分线上，

∵OB=OC=m，

∴直线BC的垂直平分线为y=x，

把D（ ，m﹣ ）代入得， =m﹣ ，

整理得m2﹣8m+7=0，解得m1=1，m2=7，

∴当△BCD是以CD为腰的等腰三角形时，m的值为1或7

【解析】（1）由抛物线y=﹣（x+1）（x﹣m）可知A（﹣1，0），B（m，0），得出OB=m，令x=0，求得y=m，得出OC=m；（2）根据抛物线的对称性求得CE=m﹣1，因为⊙C经过点（0，2），所以⊙C的半径为m﹣2，根据m﹣2＜m﹣1，即可判定点E在⊙C外；（3）①先证得△BOC是等腰直角三角形，进而证得△CDF是等腰直角三角形，得出CD= CF，即m﹣2= ，解得m=3+ ；②由CD=m﹣2，CF= ，根据勾股定理FD= = ，得出DG=m﹣ ，根据CD=DB，得出D在直线BC的垂直平分线上，根据OB=OC=m，得出直线BC的垂直平分线为y=x，代入D（ ，m﹣ ），整理得出m2﹣8m+7=0，解得m1=1，m2=7．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质和点和圆的三种位置关系，需要了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r才能得出正确答案．