Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，BC=12，∠B=30°，AB的垂直平分线DE交BC边于点E，AC的垂直平分线MN交BC于点N.

（1）求△AEN的周长；

（2）求证：BE=EN=NC.

Answer 1

【答案】（1）12；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）根据线段的垂直平分线的性质得到EB=EA，NA=NC，根据三角形的周长公式计算即可；

（2）根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质证明△AEN是等边三角形，等量代换证明即可．

试题解析：（1）∵DE是AB的垂直平分线，

∴EB=EA，

∵MN是AC的垂直平分线，

∴NA=NC，

则△AEN的周长=AE+AN+EN=BE+EN+NC=BC=12；

（2）证明：∵AB=AC，∠B=30°，

∴∠C=∠B=30°，

∵EB=EA，NA=NC，

∴∠EAB=∠B=30°，∠NAC=∠C=30°，

∴∠AEN=∠EAB+∠B=60°，∠ANE=∠NAC+∠C=60°，

∴△AEN是等边三角形，

∴BE=EN=NC．