Question

【题目】在平面直角坐标系中，图形的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于轴，轴，图形的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小.设矩形的较长的边与较短的边的比为，我们称常数为图形的投影比，如图1，矩形为的投影矩形，其投影比.

（1）如图2，若点，则投影比的值为________________；

（2）已知点，点，且投影比，则点坐标可能是__________（填写序号）；

① ② ③ ④

（3）已知点，在直线上有一点和一动点，且，是否存在这样的，使得的投影比为定值？若存在，请求出的范围及定值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）①②；（3）当m≤1时，k=2；当3≤m＜5时，k=4．

【解析】

（1）在图2中做出投影矩形，根据投影比可得到结论．

（2）根据每一个点作投影图形，分别讨论即可得到答案；

（3）根据题意画出图形，根据m的取值分类讨论．

（1）如图2，过点B作轴于点C，作轴于点D，则矩形OCBD为△OAB的投影矩形，

∵，

∴OC=3，BC=6，

∴△OAB投影比k的值=2,．

（2）如图，

①点P的坐标为时，投影比；

②点P的坐标为时，投影比；

③点P的坐标为时，投影比；

④点P的坐标为时，投影比；

故答案是①②．

（3）在中，y=2时，则x=1；x=5时，y=10，

∴F（5,10）

当m≤1时，作为投影矩形，如图所示，

此时点P（m,2m），PA′=10-2m，FA′=5-m，

∴投影比k=；

当3≤m＜5时，此时A′E=10-2=8，B′E=5-3=2，此时k=．

综上所述：当m≤1时，k=2；当3≤m＜5时，k=4．