Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：

①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CEDF不可能为正方形；
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；
④点C到线段EF的最大距离为 ．
其中正确结论的个数是（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】B
【解析】连接CD，∵∠C=90°，AC=BC=4，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A=∠B=45°，

∵D为AB的中点，∴CD⊥AB，CD=AD=BD，∴∠DCB=∠B=45°，∴∠A=∠DCF，

在△ADE和△CDF中，AE＝CF，∠A＝∠DCF，AD＝CD ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴ED=DF，∠CDF=∠ADE，

∵∠ADE+∠EDC=90°， ∴∠EDC+∠CDF=90°，即∠EDF=90°， ∴△DFE是等腰直角三角形，所以①正确；

当E、F分别为AC、BC中点时，如图2，则AE=CE=CF=BF，DE=AE=CE， ∴CE=CF=DE=DF，

而∠ECF=90°， ∴四边形CDFE是正方形，所以②错误；

∵△ADE≌△CDF， ∴S△ADE=S△CDF，

∴S四边形CEDF=S△CDE+S△CDF=S△CDE+S△ADE=S△ADC= S△ABC= × ×4×4=4，所以③错误；

∵△CEF和△DEF都为直角三角形， ∴点C、D在以EF为直径的圆上，即点C、E、D、F四点在同一个圆上，

∵△DEF是等腰直角三角形，∴EF= DE，当DE⊥AC时，DE最短，此时DE= AC=2，

∴EF的最小值为2 ，即点C到EF的最小距离为 ，所以④正确．

连接CD，根据等腰直角三角形的性质得∠A=∠B=45°，根据等腰三角形的三线合一得CD⊥AB，CD=AD=BD，根据等边对等角得出∠DCB=∠B=45°，∴∠A=∠DCF，从而利用SAS判断出△ADE≌△CDF，根据全等三角形对应边，对应角相等得出ED=DF，∠CDF=∠ADE，根据等量代换得出∠EDF=90°，故△DFE是等腰直角三角形；当E、F分别为AC、BC中点时，如图2，则AE=CE=CF=BF，DE=AE=CE， 故CE=CF=DE=DF，

而∠ECF=90°， 从而知四边形CDFE是正方形；根据全等三角形的面积相等得出S△ADE=S△CDF，然后由S四边形CEDF=S△CDE+S△CDF=S△CDE+S△ADE=S△ADC= S△ABC；根据圆周角定理判断出点C、D在以EF为直径的圆上，即点C、E、D、F四点在同一个圆上，又△DEF是等腰直角三角形，根据勾股定理得出EF=DE，当DE⊥AC时，DE最短，此时DE= AC=2，从而求出EF的最小值。