Question

【题目】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC交BC于点G，DE⊥AB于点E，DF⊥AC的延长线于点F．

（1）说明BE=CF的理由。

（2）如果AB=m，AC=n，求AE，BE的长。（用m、n表示结果）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AE =，

【解析】

（1）连接DB、DC，先由角平分线的性质就可以得出DE=DF，再由垂直平分线性质得到DB=DC，然后证明△DBE≌△DCF就可以得出结论；
（2）先证明AE=AF，进而列出等式m-BE=n+CF，即可求解．

解：（1）如图，连接BD，CD

∵AD是∠BAC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC

∴DE=DF

∵DG⊥BC且平分BC

∴DG是BC的垂直平分线

∴DB=DC

在Rt△BDE和Rt△CDF中，

∴Rt△BDE≌ Rt△CDF（HL）

∴BE=CF

（2）在Rt△ADE和Rt△ADF中

∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）

∴AE=AF

又∵BE=CF

∴m-BE=n+BE

∴2BE=m-n

∴

∴AE=AB-BE=