Question

【题目】如图，抛物线y= x2﹣ x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．

（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．

Answer 1

【答案】
（1）解：已知：抛物线y= x2﹣ x﹣9；

当x=0时，y=﹣9，则：C（0，﹣9）；

当y=0时， x2﹣ x﹣9=0，得：x1=﹣3，x2=6，则：A（﹣3，0）、B（6，0）；

∴AB=9，OC=9

（2）解：∵ED∥BC，

∴△AED∽△ABC，

∴ =（ ）2，即： =（ ）2，得：s= m2（0＜m＜9）

（3）解：解法一：∵S△ACE= AEOC= m×9= m，

∴S△CDE=S△ACE﹣S△ADE= m﹣ m2=﹣ （m﹣ ）2+ ．

∵0＜m＜9，

∴当m= 时，S△CDE取得最大值，最大值为 ．此时，BE=AB﹣AE=9﹣ = ．

记⊙E与BC相切于点M，连接EM，则EM⊥BC，设⊙E的半径为r．

在Rt△BOC中，BC= = =3 ．

∵∠OBC=∠MBE，∠COB=∠EMB=90°．

∴△BO∽△BME，

∴ = ，

∴ = ，

∴r= = ．

∴所求⊙E的面积为：π（ ）2= π．

解法二：∵S△AEC= AEOC= m×9= m，

∴S△CDE=S△AEC﹣S△ADE= m﹣ m2=﹣ （m﹣ ）2+ ．

∵0＜m＜9，

∴当m= 时，S△CDE取得最大值，最大值为 ．此时，BE=AB﹣AE=9﹣ = ．

∴S△EBC= S△ABC= ．

如图2，记⊙E与BC相切于点M，连接EM，则EM⊥BC，设⊙E的半径为r．

在Rt△BOC中，BC= = ．

∵S△EBC= BCEM，∴ × r= ，

∴r= = ．

∴所求⊙E的面积为：π（ ）2= π．

【解析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，进而确定AB、OC的长．（2）直线l∥BC，可得出△AED、△ABC相似，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题干条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围．（3）①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE、m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值；②过E做BC的垂线EM，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解．