Question

【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）．
（1）当b=2，c=﹣3时，求二次函数的解析式及二次函数最小值；
（2）二次函数的图象经过点B（m，e），C（3﹣m，e）． ①求该二次函数图象的对称轴；
②若对任意实数x，函数值y都不小于 ﹣ ，求此时二次函数的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：将b=2，c=﹣3代入得：y=ax2+2x﹣3．

将x=1，y=0代入，a+2﹣3=0，

∴a=1．

∴y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，

∴当x=﹣1时，y最小值为﹣4．

（2）解：①由题意可知：对称轴x= = ．

②∵﹣ = ，

∴b=﹣3a，又∵a+b+c=0，

∴c=2a，

∴y=ax2﹣3ax+2a

顶点纵坐标为 = ，

∵函数值不小于 ﹣ ，

∴a＞0，且﹣ ≥ ﹣ ，

∴a2﹣2a+1≤0，

∴（a﹣1）2≤0，

∵（a﹣1）2≥0，

∴a﹣1=0，

∴a=1．

【解析】（1）利用待定系数法以及配方法即可解决问题．（2）①根据对称性B、C关于对称轴对称，即可解决问题．②首先求出b、c（用a表示），想办法列出不等式即可解决问题．
【考点精析】通过灵活运用二次函数的性质，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小即可以解答此题．