Question

【题目】已知：AB，PQ是圆O的两条直径，连接PB，AQ．
（1）如图①，求证：AQ∥BP，AG∥BP；
（2）如图②，过点B作BC⊥PQ于点D，交圆O于点C，在DG上取一点K，使DK=DP，求证：四边形AQKC是平行四边形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵ = ，

∴∠P=∠A，

∵OA=OQ，

∴∠A=∠Q，

∴∠P=∠Q，

∴AQ∥PB．

∵∠AOQ=∠BOP，

∴ = ，

∴AQ=BP；

（2）证明：∵PQ⊥BC，

∴BD=CD，

又∵PD=DK，

∴BC与PK互相垂直且平分，

∴四边形BKCP为菱形；

∴PB∥CK，且PB=CK，

∵PB∥AQ，

∴CK∥AQ，

∵PB=AQ，

∴CK=AQ，

∵CK∥AQ，且CK=AQ，

∴四边形AQKC为平行四边形．

【解析】（1）由同弧所对的圆周角相等得出∠P=∠A，由OA=OQ得出∠A=∠Q，那么∠P=∠Q，AQ∥PB．根据∠AOQ=∠BOP，得到 = ，那么AQ=BP；（2）先由垂径定理得出BD=CD，又PD=DK，得出四边形BKCP为菱形，根据菱形的性质得出PB∥CK，再证明CK∥AQ，且CK=AQ，那么四边形AQKC为平行四边形．
【考点精析】本题主要考查了平行四边形的判定和圆周角定理的相关知识点，需要掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半才能正确解答此题．