Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．

（1）∠OBA=
（2）求抛物线的函数表达式
（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？

Answer 1

【答案】
（1）90°
（2）

解：连接OC，如图1所示：

∵由（1）知OB⊥AC，又AB=BC，∴OB是AC的垂直平分线，∴OC=OA=10，在Rt△OCD中，OC=10，CD=8，∴OD=6，∴C（6，8），B（8，4）

∴OB所在直线的函数关系为y=x，又∵E点的横坐标为6，∴E点纵坐标为3，即E（6，3），抛物线过O（0，0），E（6，3），A（10，0），

∴设此抛物线的函数关系式为y=ax（x﹣10），把E点坐标代入得：3=6a（6﹣10），解得a=﹣．∴此抛物线的函数关系式为y=﹣x（x﹣10），即y=﹣x2+x

（3）

解：设点P（p，﹣p2+p），①若点P在CD的左侧，延长OP交CD于Q，如图2：

OP所在直线函数关系式为：y=（﹣p+）x∴当x=6时，y=，即Q点纵坐标为，

∴QE=﹣3=，

S四边形POAE=S△OAE+S△OPE=S△OAE+S△OQE﹣S△PQE=OADE+QEOD﹣QEPx

=×10×3+×（）×6﹣（）（6﹣p）=-p2+p+15

②若点P在CD的右侧，延长AP交CD于Q，如图3：

P（p，﹣p2+p），A（10，0）∴设AP所在直线方程为：y=kx+b，把P和A坐标代入得，，

解得．∴AP所在直线方程为：y=﹣px+p，∴当x=6时，y=﹣6+p=P，即Q点纵坐标为P，

∴QE=P﹣3，∴S四边形POAE=S△OAE+S△APE=S△OAE+S△AQE﹣S△PQE=OADE+QEDA﹣QE（Px﹣6）

=×10×3+QE（DA﹣Px+6）=15+（p﹣3）（10﹣p）=-p2+4p=-(p-8)2+16，

∴当P在CD右侧时，四边形POAE的面积最大值为16，此时点P的位置就一个，令-p2+p+15=16，解得，p=3±，

当P在CD左侧时，四边形POAE的面积等于16的对应P的位置有两个，综上所知，以P、O、A、E为顶点的四边形面积S等于16时，相应的点P有且只有3个．

【解析】（1）利用圆周角定理，直径所对的圆周角等于90°，即可得出答案；