Question

【题目】我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A（4，0），B（－4，0），D是y轴上的一个动点，∠ADC=90°(A、D、C按顺时针方向排列)， BC与经过A，B，D三点的⊙M交于点E，DE平分∠ADC，连结AE，BD．显然△DCE，△DEF，△DAE是半直角三角形．

（1）求证：△ABC是半直角三角形；
（2）求证：∠DEC=∠DEA；
（3）若点D的坐标为（0，8），
①求AE的长；
②记BC与AD的交点为F，求ΔACF与ΔBCA的面积之比．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵∠ADC=90°，DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE=∠ADC=90°=45°，
∴∠ABE=∠ADE=45°，
∴△ABC是半直角三角形.
（2）证明：∵四边形ABDE是⊙M的内接四边形，
∴∠DEA+∠DBA=180°，DB=DA，
∴∠DBA=∠DAB，
又∵∠DEC+∠DEB=180°，∠DEB=∠DAB，
∴∠DBA=∠DEB，
∴∠DEC+∠DBA=180°，
∴∠DEA=∠DEC.
（3）解：①∵点D的坐标为（0,8），
∴OM=8-R，
又∵ OM2+OA2=MA2，
∴ （8-R）2+42=R2，
∴R=5 ，
∴⊙M 的半径为5 ，
连接ME,MA，
∴∠EMA=90°，
∴EA2=MA2+ME2=25+25=50，
∴ EA=5，

②由（1）知∠ADE=∠CDE，
由（2）知∠DEA=∠DEC，
又∵DE=DE，
∴ △CDE≌△ADE（ASA），
∴CD=AD，
又∵OD=8，OA=OB=4，
∴DA=DB=DC=4，
又∵S△ABD=.AB.OD=.AD.h，
∴h==，
∴=
=
=
=.

【解析】（1）由∠ADC=90°，DE平分∠ADC得出∠ADE=∠CDE=∠ADC=90°=45°，即∠ABE=∠ADE=45°，从而得证.
（2）由圆内接四边形得出∠DEA+∠DBA=180°，DB=DA，再根据等腰三角形性质得出∠DBA=∠DAB，又由邻补角和同弧所对的圆周角相等得出∠DEC+∠DBA=180°，再同角的补角相等得出∠DEA=∠DEC.
（3）①由已知条件得出OM=8-R，由勾股定理得出OM2+OA2=MA2，求出R=5；连接ME,MA得出∠EMA=90°，由勾股定理得出 EA=5.

②由已知条件得出△CDE≌△ADE（ASA），根据全等三角形的性质得出CD=AD；由已知条件得出DA=DB=DC=4；S△ABD=.AB.OD=.AD.h得出
h==，依据===.

【考点精析】解答此题的关键在于理解角的平分线的相关知识，掌握从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线，以及对对顶角和邻补角的理解，了解两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个．