Question

【题目】如图，在矩形中，为对角线，过点作，交于点，点在上，交于点，且，，则线段的长为______．

Answer 1

【答案】

【解析】

连接AC交BD于O，BD交AF于M，连接GO，CM，CE交BD于点N．利用全等三角形的性质证明OC=CM，∠ACG=∠GCM，作GK⊥CM交CM的延长线于K，作GJ⊥AC于J．则有GJ=GK，可得 推出AG=2GM，证明△MOG≌△MBF（AAS），可得OG=BF=GM=FM，设GM=k，则GM=BF=MF=OG=k，AG=FG=CF=2k，利用勾股定理构建方程组即可解决问题．

解：连接AC交BD于O，BD交AF于M，连接GO，CM，CE交BD于点N．

∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC，

∵AG=GF=CF， ∴∠FCG=∠FGC，OG∥CF，

∴∠OGC=∠FCG=∠FGC，

∵CE⊥BD， ∴∠GNO=∠GNM=90°，

∵GN=GN， ∴△GNO≌△GNM（ASA），

∴ON=NM，OG=GM，

∵∠CNO=∠CNM=90°，CN=CN，

∴△CNO≌△CNM（SAS），

∴∠OCN=∠MCN，OC=MC= AC，

∴GC平分∠ACM，作GK⊥CM交CM的延长线于K，作GJ⊥AC于J．则有GJ=GK，

∴

同理：

∴AG=2GM，

∵AG=GF， ∴GM=MF，

∵∠MOG=∠MBF，∠OMG=∠BMF，

∴△MOG≌△MBF（AAS），

∴OG=BF=GM=FM，

设GM=k，则GM=BF=MF=OG=k，AG=FG=CF=2k，

∴BC=3k，

在Rt△ABF中，∵ ∴ ①，

在Rt△ABC中，∵ AC=BD=

∴ ②，

由①②可得AB=

故答案为