Question

【题目】在等边△ABC中；
（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；

（2）点P，Q是BC边上的两个动点(不与点B，C重合)，点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM.

①依题意将图2补全；②小明通过观察、实验，提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA＝PM，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：要证PA＝PM，只需证△APM是等边三角形．
想法2：在BA上取一点N，使得BN＝BP，要证PA＝PM，只需证△ANP≌△PCM.……
请你参考上面的想法，帮助小明证明PA＝PM(一种方法即可)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，

又∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，

∵∠BAP＝20°，∴∠AQB＝∠APQ=∠BAP＋∠B＝80°

（2）解：①如图．

利用想法1证明：∵AP=AQ，

∴∠APQ=∠AQP，

∴∠APB=∠AQC，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∴∠BAP=∠CAQ，

∵点Q关于直线AC的对称点为M，

∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC，

∴∠MAC=∠BAP，

∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°，

∴∠PAM=60°，

∵AP=AQ，

∴AP=AM，

∴△APM是等边三角形，

∴AP=PM．

②利用想法2证明：在AB上取一点N，使BN＝BP，连接PN，CM，

∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，BA＝BC＝AC，

∴△BPN是等边三角形，AN＝PC，BP＝NP，∠BNP＝60°，

∴∠ANP＝120°，由轴对称知CM＝CQ，∠ACM＝∠ACB＝60°，

∴∠PCM＝120°，由(1)知，∠APB＝∠AQC，∴△ABP≌△ACQ(AAS)．

∴BP＝CQ，∴NP＝CM，∴△ANP≌△PCM(SAS)，∴AP＝PM.

【解析】（1）根据等边对等角得出：∠APQ＝∠AQP，根据等边三角形的性质，及三角形的外角定理得出：∠AQB＝∠APQ=∠BAP＋∠B＝80° ；
（2）①如图．根据等边对等角及邻补角的定义得出∠APB=∠AQC ，根据等边三角形的性质得出∠B=∠C=60°，根据三角形的内角和得出∠BAP=∠CAQ，根据轴对称的性质得出AQ=AM，∠QAC=∠MAC，根据等量代换得出∠MAC=∠BAP ，根据等式的性质得出∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60° ，即∠PAM=60°，又AQ=AM ，AP=AQ，故AP=AM，根据有一个角是60的等腰三角形是等边三角形得出△APM是等边三角形，从而得出结论：AP=PM；②利用想法2证明：在AB上取一点N，使BN＝BP，连接PN，CM，根据等边三角形的性质得出∠B＝∠ACB＝60°，BA＝BC＝AC，进一步得出△BPN是等边三角形，AN＝PC，BP＝NP，∠BNP＝60°，根据领补角的定义得出∠ANP＝120°，由对称的知识得出CM＝CQ，∠ACM＝∠ACB＝60°，从而判断出∴△ABP≌△ACQ ，根据全等三角形的性质得出BP＝CQ ，进而根据等量代换得出NP＝CM，从而判断出△ANP≌△PCM ，根据全等三角形的性质得出AP＝PM.