Question

【题目】如图所示，已知平面直角坐标系内A(2a-1，4)，B(-3，3b+1)，A、B两点关于y轴对称。

(1)求A、B的坐标

(2)动点P、Q分别从A点、B点同时出发，沿直线AB向右运动，同向而行，P点的速度是每秒2个单位长度，Q点的速度是每秒4个单位长度，设P、Q的运动时间为t秒，当0＜t＜3时.

①请用含t的代数式表示三角形OPQ的面积S，

②在平面直角坐标系中存在一点M，点M的横纵坐标相等，且满足，求出点M的坐标，并求出当＝15时，三角形OPQ的面积.

Answer 1

【答案】（1）点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（-3，4）．（2）①S＝12-4t；．②点M的坐标为（-2，-2）或（10，10），当S△AQM=15时，三角形OPQ的面积是11或1．

【解析】

（1）根据A、B两点关于y轴对称可知点A、B的横坐标互为相反数，纵坐标相等，从而解答本题．

（2）①0＜t＜3时，点P在前，Q在后，表示出PQ的长度，即可解决问题；

②根据题意和①中求得的关系式，可以先求出点M的坐标，进而求得三角形OPQ的面积．

（1）∵A（2a-1，4），B（-3，3b+1），A、B两点关于y轴对称，

∴2a-1=3，3b+1=4．

解得a=2，b=1．

∴点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（-3，4）．

（2）①∵AP=2t，BQ=4t，AB=6，

∴当0＜t＜3时，PQ=6+2t-4t=6-2t；

∴当0＜t＜3时，S=PQ×4=×（6-2t）×4=12-4t；

②设点M的坐标为（x，x）．

当0＜t＜3时，

∵S△PQM：S△OPQ=3：2，S△PQM＝=（3-t）×|4-x|，S△OPQ=12-4t．

∴．

解得，x=-2或x=10

∴点M的坐标为（-2，-2）或（10，10）

∵S△AQM=15，即S△AQM＝（0＜t＜3），

∴t=或t=，

∴当t=时，S△OPQ＝124×＝11，当t=时，S△OPQ=12-4×=1；

由上可得，点M的坐标为（-2，-2）或（10，10），当S△AQM=15时，三角形OPQ的面积是11或1．