Question

【题目】在ABCD中，点B关于AD的对称点为B′，连接AB′，CB′，CB′交AD于F点．
（1）如图1，∠ABC=90°，求证：F为CB′的中点；

（2）小宇通过观察、实验、提出猜想：如图2，在点B绕点A旋转的过程中，点F始终为CB′的中点．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：过点B′作B′G∥CD交AD于G点，只需证三角形全等；
想法2：连接BB′交AD于H点，只需证H为BB′的中点；
想法3：连接BB′，BF，只需证∠B′BC=90°．
…
请你参考上面的想法，证明F为CB′的中点．（一种方法即可）
（3）如图3，当∠ABC=135°时，AB′，CD的延长线相交于点E，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：证明：

∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，

∴□ABCD为矩形，AB=CD，

∴∠D=∠BAD=90°，

∵B，B′关于AD对称，

∴∠B′AD=∠BAD=90°，AB=AB′，

∴∠B′AD=∠D，

∵∠AFB′=∠CFD，

在△AFB′与△CFD中， ，

∴△AFB′≌△CFD（AAS），

∴FB′=FC，

∴F是CB′的中点

（2）

解：证明：

方法1：如图2，

过点B′作B′G∥CD交AD于点G，

∵B，B′关于AD对称，

∴∠1=∠2，AB=AB′，

∵B′G∥CD，AB∥CD，

∴B′G∥AB．

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴B′A=B′G，

∵AB=CD，AB=AB′，

∴B′G=CD，

∵B′G∥CD，

∴∠4=∠D，

∵∠B′FG=∠CFD，

在△B′FG与△CFD中 ，

∴△B′FG≌△CFD（AAS），

∴FB′=FC，

∴F是CB′的中点；

方法2：连接BB′交直线AD于H点，

∵B，B′关于AD对称，

∴AD是线段B′B的垂直平分线，

∴B′H=HB，

∵AD∥BC，

∴ = =1，

∴FB′=FC．

∴F是CB′的中点；

方法3：连接BB′，BF，

∵B，B′关于AD对称，

∴AD是线段B′B的垂直平分线，

∴B′F=FB，

∴∠1=∠2，

∵AD∥BC，

∴B′B⊥BC，

∴∠B′BC=90°，

∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，

∴∠3=∠4，

∴FB=FC，

∴B′F=FB=FC，

∴F是CB′的中点；

（3）

解：取B′E的中点G，连结GF，

∵由（2）得，F为CB′的中点，

∴FG∥CE，FG= CE，

∵∠ABC=135°，□ABCD中，AD∥BC，

∴∠BAD=180°﹣∠ABC=45°，

∴由对称性，∠EAD=∠BAD=45°，

∵FG∥CE，AB∥CD，

∴FG∥AB，

∴∠GFA=∠FAB=45°，

∴∠FGA=90°，GA=GF，

∴FG=sin∠EADAF= AF，

∴由①，②可得 = ．

【解析】（1）证明：根据已知条件得到□ABCD为矩形，AB=CD，根据矩形的性质得到∠D=∠BAD=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）方法1：如图2，过点B′作B′G∥CD交AD于点G，由轴对称的性质得到∠1=∠2，AB=AB′，根据平行线的性质得到∠2=∠3，∠1=∠3，根据平行线的性质得到∠4=∠D，根据全等三角形的性质即可得到结论；方法2：连接BB′交直线AD于H点，根据线段垂直平分线的性质得到B′H=HB，由平行线分线段成比例定理得到结论；方法3：连接BB′，BF，根据轴对称的性质得到AD是线段B′B的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到B′F=FB，得到∠1=∠2，由平行线的性质得到∠B′BC=90°，根据余角的性质得到∠3=∠4，于是得到结论；（3）取B′E的中点G，连结GF，由（2）得，F为CB′的中点，根据平行线的性质得到∠BAD=180°﹣∠ABC=45°，由对称性的性质得到∠EAD=∠BAD=45°，根据平行线的性质得到∠GFA=∠FAB=45°，根据三角函数的定义即可得到结论．
【考点精析】本题主要考查了全等三角形的性质和相似三角形的性质的相关知识点，需要掌握全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等；对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形才能正确解答此题．