Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．

（1）求直线AC的解析式；

（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥AC，垂足为D，当线段PD的长度最大时，点Q从点P出发，先以每秒1个单位的速度沿适当的路径运动到y轴上的点M处，再沿MC以每秒3个单位的速度运动到点C停止，当点Q在整个运动中所用时间t最少时，求点M的坐标；

（3）如图2，将△BOC沿直线BC平移，平移后B，O，C三点的对应点分别是B′，O′，C′，点S是坐标平面内一点，若以A，C，O′，S为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点S的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x﹣2；（2）M（0，），（3）（，）或（，）或（，）或（，）或（，）

【解析】分析：(1)、根据题意分别求出点A和点C的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式；(2)、过点P作PE∥y轴交直线AC于点E，设出点P的坐标，从而得出PE的长度，根据△PDE和△AOC相似得出PD的长度，然后证明出△CHM和△COF相似，△PKM和△COF相似，从而求出点M的坐标；(3)、根据菱形的性质分别分五种情况进行讨论，得出点P的坐标．

详解：（1）当y=0时，﹣x2﹣x﹣2=0，解这个方程，得：x1=﹣6，x2=﹣1，

∴点A（﹣6，0），B（﹣1，0）， 当x=0时，y=﹣2， ∴C（0，﹣2），

设直线AC的解析式为：y=ax+b（a≠0），

将点A（﹣6，0），C（0，﹣2）代入得：， ∴，

∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣2；

（2）如图1，过点P作PE∥y轴交直线AC于点E，

设P（a，﹣），则点E（a，﹣﹣2），

∴PE=（﹣）﹣（﹣﹣2）=﹣﹣2a，

∵AO=6，OC=2， ∴AC===2，

∵∠PDE=∠AOC=90°，∠PED=∠ACO， ∴△PDE∽△AOC， ∴=，

∴PD=PE==﹣﹣， 对称轴是：a=﹣3，

∵﹣，

∴当a=﹣3时，PD的长度最大，此时点P的坐标为（﹣3，2），

如图1所示，在x轴上取点F（1，0），连接CF并延长，

∴CF===3， ∴sin∠OCF==，

点M是y轴上一点，过点M作MH⊥CF于点H，

由△CHM∽△COF，可知： =， ∵t==PM+MH，

如图2，当P、M、H在同一直线上时，t的值最小，此时，过P作PK⊥y轴于K，

由△PKM∽△COF，可知： =2， ∴KM=， ∴M（0，），

（3）如图3，当四边形ACSO'是菱形时，过S作SG⊥y轴于G，延长O'C'交x轴于H，

∵四边形ACSO'是菱形， ∴AO'=AC=SC，AO'∥SC， ∴∠AMC=∠BCS，

∴∠AO'H+∠MC'O'=∠BCO+∠OCS， ∵∠MC'O'=∠BCO， ∴∠AO'H=∠OCS，

∵∠AHO'=∠CGS， ∴△O'AH≌△CSG， ∴AH=SG，O'H=CG，

Rt△OCB中，sin∠OCB==， ∴sin∠BC'H==，

设BH=x，则BC'=3x， ∴C'H=2x， ∴AH=SG=5﹣x， ∵O'C'=OC=2，

∴C'H=OG=2x， 由勾股定理得：AC2=O'A2， ∴AO2+OC2=O'H2+AH2，

∴=（5﹣x）2+（2+2x）2， 解得：x=，

当x=时，SG=5﹣x=，OG=2x=，

当x=＜0时，不符合题意，舍去，SG=5﹣x=，OG=2x=，

此时S的坐标为：或；

②如图4，过S作SH⊥AO于H，延长O'B'到y轴交于G， ∵SE∥CF，EC∥SF，

∴四边形SECF是平行四边形， ∴∠ESF=∠ECF， ∵四边形ASO'C是菱形，

∴∠ASO'=∠ACO'， ∴∠ASH=∠O'CG， 同理得：△ASH≌△O'CG， ∴AH=O'G，SH=CG，

sin∠GCB'==， 设GB'=x，则CB'=3x，CG=2x， ∴O'G=1+x，

由勾股定理得：AC2=O'C2， ∴62+（2）2=（2x）2+（x+1）2，解得：x=，

当x=时，SH=CG=2x=，OH=6﹣AH=6﹣O'G=5﹣x=，

当x=＜0时，不符合题意，舍去，

此时，点S的坐标为：（，）；

③如图5，AC为对角线时，同理可得S（，）

④如图6，过S作SE⊥x轴于E，延长B'O'交y轴于H，延长O'C'交x轴于G，

设GB'=x，则CB'=3x，CG=2x， ∴O'G=O'H=1+x， ∵∠HO'D=∠O'DA=∠EAS，

易得△SEA≌△CHO'， 同理可得S（，）；

⑤如图7，过S作SH⊥x轴于H，过O'作O'E⊥SH于E，延长C'O'交x轴于G，

设OG=x，则BG=1+x， ∵O'B'∥BG， ∴， ∴，

∴C'G=2（1+x）， ∴O'G=C'G﹣C'O'=2x， ∴AG=1+x，

同理得：62+（2）2=（1+x）2+（2x）2，

解得：x1=，x2=（舍）， 可得S；

综上所述，S的坐标为：或或（，）或（，）或（，）．