Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB＞AC，射线AM平分∠BAC．

（1）设AM交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF．有以下三种“判断”：
判断1：AD垂直平分EF．
判断2：EF垂直平分AD．
判断3：AD与EF互相垂直平分．
你同意哪个“判断”？简述理由；
（2）若射线AM上有一点N到△ABC的顶点B，C的距离相等，连接NB，NC．
①请指出△NBC的形状，并说明理由；
②当AB=11，AC=7时，求四边形ABNC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图，判断3正确．理由如下：

∵∠BAC=90°，DE⊥ABDF⊥AC，

∴DE=DF，∴∠AED=∠AFD=∠EAF=90°，

∴四边形AEDF是矩形，∵DE=DF，

∴四边形AEDF是正方形，

∴AD与EF互相垂直平分．

故判断3正确

（2）

解：①结论：△BCN是等腰直角三角形．理由如下：

如图作NE⊥AB于E，FN⊥AC于F．

∵MA是∠BAC的平分线，

∴NE=NF，

在Rt△NEB和Rt△NFC中，

，

∴△NEB≌△NFC，

∴BE=CF，∠BNE=∠CNF，

易知四边形AENF是正方形，

∴AE=AF，∠BNC=∠ENF=90°，

∴△BNC是等腰直角三角形．

②∵AB+AC=（AE+BE）+（AF﹣CF）=2AE=18，

∴AE=AF=9，

∵△NEB≌△NFC，

∴S△NEB=S△NFC，

∴S四边形ABNC=S正方形AENF=92=81

【解析】（1）结论：判断3正确．只要证明四边形AEDF是正方形即可解决问题．（2）①△BCN是等腰直角三角形．如图作NE⊥AB于E，FN⊥AC于F．只要证明△NEB≌△NFC，四边形AENF是正方形即可解决问题．②由△NEB≌△NFC，推出S△NEB=S△NFC ， 推出S四边形ABNC=S正方形AENF ， 由此即可解决问题．