【题目】如图1，OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC=5，反比例函数y= （x＞0）的图象经过点A（1，4）．

（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；
（2）如图2，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP．
①求△AOP的面积；
②在OABC的边上是否存在点M，使得△POM是以PO为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：

【答案】
（1）

解：∵反比例函数y= （x＞0）的图象经过点A（1，4），

∴m=1×4=4，

∴反比例函数的关系式为y= （x＞0）．

∵四边形OABC为平行四边形，且点O（0，0），OC=5，点A（1，4），

∴点C（5，0），点B（6，4）


（2）

解：①延长DP交OA于点E，如图3所示．

∵点D为线段BC的中点，点C（5，0）、B（6，4），

∴点D（ ，2）．

令y= 中y=2，则x=2，

∴点P（2，2），

∴PD= ﹣2= ，EP=ED﹣PD= ，

∴S△AOP= EP（yA﹣yO）= × ×（4﹣0）=3．

②假设存在．以OP为直径作圆，交OC于点M1，交OA于点M2，连接PM1、PM2，如图4所示．

∵点P（2，2），O（0，0），

∴点M1（2，0）；

∵点A（1，4），点O（0，0），

∴直线OA的关系式为y=4x．

设点M2（n，4n），

OM2= n，OP=2 ，PM2= ，

∵∠OM2P=90°，

∴ + =OP2，即17n2+17n2﹣20n+8=8，

解得：n= ，或n=0（舍去），

∴点M2（ ， ）．

故在OABC的边上存在点M，使得△POM是以PO为斜边的直角三角形，点M的坐标为（2，0）或（ ， ）．


【解析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标；（2）①延长DP交OA于点E，由点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，再令反例函数关系式中y=2求出x值即可得出点P的坐标，由此即可得出PD、EP的长度，根据三角形的面积公式即可得出结论；②假设存在，以OP为直径作圆，交OC于点M1 ， 交OA于点M2 ， 通过解直角三角形和勾股定理求出点M1、M2的坐标，此题得解．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式、平行四边形的性质以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式；（2）①求出EP长度；②以OP为直径作圆，找出点M的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过作圆来确定点的数目与位置是关键．
【考点精析】利用平行四边形的性质和解直角三角形对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．

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