Question

【题目】我们常见的汽车玻璃升降器如图①所示，图②和图③是升降器的示意图，其原理可以看作是主臂PB绕固定的点O旋转，当端点P在固定的扇形齿轮上运动时，通过叉臂式结构（点B可在MN上滑动）的玻璃支架MN带动玻璃沿导轨作上下运动而达到玻璃升降目的．点O和点P，A，B在同一直线上．当点P与点E重合时，窗户完全闭合（图②），此时∠ABC＝30°；当点P与点F重合时，窗户完全打开（图③）．已知的半径OP＝5cm，＝cm，OA＝AB＝AC＝20cm．

（1）当窗户完全闭合时，OC＝_____cm．

（2）当窗户完全打开时，PC＝_____cm．

Answer 1

【答案】20 5

【解析】

（1）证出∠OCB=90°，△AOC是等边三角形，由等边三角形的性质得出OC=OA=20cm即可；
（2）连接PC，OE，作PG⊥MN于G，如图所示：由弧长公式求出∠EOP=90°，当窗户完全打开时，∠POC=150°，得出∠COE=150°-90°=60°，∠BOC=30°，∠ABC=60°，得出△ABC是等边三角形，BC=OA=20，求出BP=AB+OA+OP=45，, ，得出CG=BG-BC=，由勾股定理即可得出结果．

解：（1）∵OA＝AB＝AC＝20cm，

∴∠OCB＝90°，

∵∠ABC＝30°，

∴∠BOC＝60°，

∴△AOC是等边三角形，

∴OC＝OA＝20cm；

故答案为20；

（2）连接PC，OE，作PG⊥MN于G，如图③所示：

则OCB＝∠PGC＝90°，

∴FG∥OC，

设∠EOP＝n°，

∵的长＝，

解得：n＝90，

∴∠EOP＝90°，

由（1）得：当窗户完全闭合时，∠POC＝180°﹣60°＝150°，

∴∠COE＝150°﹣90°＝60°，

∴∠BOC＝90°﹣60°＝30°，

∴∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，BC＝OA＝20，

∵BP＝AB+OA+OP＝45，

∴CG＝BG﹣BC＝，

在Rt△PCG中，由勾股定理得：．

故答案为．