Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，AC=BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．
（1）如图1，若CE=CF，求证：DE=DF；

（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中：
①探究三条线段AB，CE，CF之间的数量关系，并说明理由；
②若CE=4，CF=2，求DN的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，AD=BD，

∴∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF=90°，

∴∠DCE=∠DCF=135°，

在△DCE与△DCF中， ，

∴△DCE≌△DCF，

∴DE=DF；

（2）

解：①∵∠DCF=∠DCE=135°，

∴∠CDF+∠F=180°﹣135°=45°，

∵∠CDF+∠CDE=45°，

∴∠F=∠CDE，

∴△CDF∽△CED，

∴ ，

即CD2=CECF，

∵∠ACB=90°，AC=BC，AD=BD，

∴CD= AB，

∴AB2=4CECF；

②如图，过D作DG⊥BC于G，

则∠DGN=∠ECN=90°，CG=DG，

当CE=4，CF=2时，

由CD2=CECF得CD=2 ，

∴在Rt△DCG中，CG=DG=CDsin∠DCG=2 ×sin45°=2，

∵∠ECN=∠DGN，∠ENC=∠DNG，

∴△CEN∽△GDN，

∴ =2，

∴GN= CG= ，

∴DN= = = ．

【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF=90°，于是得到∠DCE=∠DCF=135°，根据全等三角形的性质即可的结论；（2）①证得△CDF∽△CED，根据相似三角形的性质得到 ，即CD2=CECF，根据等腰直角三角形的性质得到CD= AB，于是得到AB2=4CECF；②如图，过D作DG⊥BC于G，于是得到∠DGN=∠ECN=90°，CG=DG，当CE=4，CF=2时，求得CD=2 ，推出△CEN∽△GDN，根据相似三角形的性质得到 =2，根据勾股定理即可得到结论．
【考点精析】掌握等腰直角三角形和勾股定理的概念是解答本题的根本，需要知道等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．