Question

【题目】已知；直线AB∥CD，直线MN分别与AB、CD交于点E、F．

（1）如图1，∠BEF和∠EFD的平分线交于点G．求∠G的度数；

（2）如图2，EI和EK为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点I和K，猜想∠FIE和∠K的关系，并证明；

（3）如图3，点Q为线段EF（端点除外）上的一个动点，过点Q作EF的垂线交AB于R，交CD于J，∠AEF、∠CJR的平分线相交于P，问∠EPJ的度数是否会发生变化？若不发生变化，求出∠EPJ的度数；若会发生变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）∠EIF+∠K＝180°；（3）∠EPJ＝45°；

【解析】

（1）根据、分别平分和，得到，，由于到，于是得到，即可得到结论；

（2）过点作，由已知可得，，得到，由于平分，求得，由于，于是得到，由于，得到，然后根据平行线的性质即可得到结论；

（3）根据、的平分线相交于，得到，，由于，得到，且；根据，得，再利用等量代换即可得到结论．

解：（1）∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，

∴∠BEF＝2∠BEG，∠EFD＝2∠GFD，

∵BE∥CF，

∴∠BEF+∠EFD＝180°，

∴2∠FEG+2∠GFE＝180°，

∴∠FEG+∠GFE＝90°，

∵∠EGF+∠FEG+∠GFE＝180°，

∴∠EGF＝90°；

（2）猜想：∠EIF+∠K＝180°．如图，过点I作IH∥AB，

∵AB∥CD，∴IH∥CD，

由已知可得∠K＝∠1+∠3，∠EIF＝∠BEI+∠IFD，

∴∠3＝∠KFD，

∵FK平分∠EFD，

∴∠4＝∠KFD，

∵∠1＝∠2，

∴∠K＝∠2+∠4，

∵∠EIF＝∠BEI+∠IFD，

∴∠EIF+∠K＝∠2+∠4+∠BEI+∠IFD＝∠BEF+∠EFD，

∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠EFD＝180°，

∴∠EIF+∠K＝180°；

（3）∠EPJ＝45°，理由如下：

∵AB∥CD，

∴易得∠EPJ＝∠AEP+∠PIC，且∠AEF＝∠JFE，

∵∠AEF、∠CJR的平分线相交于P，

∴∠AEF＝2∠AEP，∠CJR＝2∠PJC，

∵RJ⊥EF，

∴∠FQJ＝90°，

∴∠EFJ+∠CJR＝90°，

∴∠AEF+∠CJR＝90°，

∴2∠AEP+2∠PJC＝90°，

∴∠AEP+∠PJC＝45°，

∴∠EPJ＝45°．