Question

【题目】阅读理解
如图（1），在正多边形A1A2A3…An的边A2A3上任取一不与点A2重合的点B2 ， 并以线段A1B2为边在线段A1A2的上方作以正多边形A1B2B3…Bn ， 把正多边形A1B2B3…Bn叫正多边形A1A2…An的准位似图形，点A3称为准位似中心．

特例论证
（1）如图（2）已知正三角形A1A2A3的准位似图形为正三角形A1B2B3 ， 试证明：随着点B2的运动，∠B3A3A1的大小始终不变．

（2）如图（3）已知正方形A1A2A3A4的准位似图形为正方形A1B2B3B4 ， 随着点B2的运动，∠B3A3A4的大小始终不变？若不变，请求出∠B3A3A4的大小；若改变，请说明理由．

（3）在图（1）的情况下：
①试猜想∠B3A3A4的大小是否会发生改变？若不改变，请用含n的代数式表示出∠B3A3A4的大小（直接写出结果）；若改变，请说明理由．
①∠B3A3A4+∠B4A4A5+∠B5A5A6+…+∠BnAnA1= （用含n的代数式表示）

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵△A1A2A3与△A1B2B3是正三角形，

∴A1A2=A1A3，A1B2=A1B3，∠A2A1A3=∠B2A1B3=60°，

∴∠A2A1B2=∠A3A1B3，

∴△A2A1B2≌△A3A1B3，

∴∠B3A3A1=∠A2=60°，

∴∠B3A3A1的大小不变

数学思考

（2）

解：∠B3A3A4的大小不变，

理由：如图，在边A1A2上取一点D，使A1D=A3B2，连接B2D，

∵四边形A1A2A3A4与A1B2B3B4是正方形，

∴A1B2=B2B3，∠A1B2B3=∠A1A2A3=90°，

∴∠A3B2B3+∠A1B2A2=90°，∠A2A1B2+∠A1B2A2=90°，

∴∠A3B2B3=∠A2A1B2，

∴△A3B2B3≌△DA1B2，

∴∠B2A3B3=∠A1DB2，

∵A1A2=A2A3，A1D=A3B2，

∴A2B2=A2D，

∵∠A1A2A3=90°，

∴△DA2B2是等腰直角三角形，

∴∠A1DB2=135°，

∴∠B2A3B3=135°，

∵∠A4A3A2=90°，

∴∠B3A3A4=45°，

即：∠B3A3A4的大小始终不变

归纳猜想

（3）

解：①∠B3A3B4的大小始终不变，理由：如图1，

在A1A2上取一点D，使A1D=A3B2，

连接B2D，

∵∠A2A1B2=180°﹣∠A1B2A2，∠A3B2B3=180°﹣∠A1B2A2，

∴∠A2A1B2=∠A3B2B3，

∵A1B2=B2B3，

∴△A3B2B3≌△DA1B2，

∴∠B2A3B3=A1DB2，

∵A1A2=A2A3，A1D=A3B2，

∴A2D=A2B2，

∴∠A1DB2= （180°﹣∠A1A2B2）=90°﹣ × =90°﹣

∴∠B3A3A4=∠A1DB2﹣∠B2A3A4=90°﹣ ﹣ =

②由①知，∠B3A3A4= ，

同①的方法可得，∠B4A4A5= ×2，∠B5A5A6= ×3，…，∠BnAnA1= ×（n﹣2），

∴①∠B3A3A4+∠B4A4A5+∠B5A5A6+…+∠BnAnA1

= + ×2+ ×3+… ×（n﹣2）= ，

故答案为 ．

【解析】（1）先判断出△A2A1B2≌△A3A1B3 ， 再利用等边三角形的性质即可得出结论；（2）先判断出△A3B2B3≌△DA1B2 ， 再利用正方形的性质即可得出结论；（3）①先判断出△A3B2B3≌△DA1B2 ， 再利用正多边形的边相等和每个内角即可得出结论；②利用①的结论和方法即可得出结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等边三角形的性质的相关知识，掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°．