Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣4），直线x=﹣2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=﹣x2从点O沿OA方向平移，与直线x=﹣2交于点P，顶点M到点A时停止移动．

（1）线段OA所在直线的函数解析式是；
（2）设平移后抛物线的顶点M的横坐标为m，问：当m为何值时，线段PA最长？并求出此时PA的长．
（3）若平移后抛物线交y轴于点Q，是否存在点Q使得△OMQ为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）y=2x
（2）

解：设M点的坐标为（m，2m），（﹣2≤m＜0），

∴平移后抛物线解析式为y=﹣（x﹣m）2+2m，

当x=﹣2时，y=﹣（2﹣m）2+2m=﹣m2﹣2m﹣4，

∴P点的坐标为（﹣2，﹣m2﹣2m﹣4），

∴PA=﹣m2﹣2m﹣4﹣（﹣4）=﹣m2﹣2m=﹣（m﹣1）2+1

∴当m=1时，PA的值最大，PA的最大值为1

（3）

解：存在，理由如下：

当x=0时，y=﹣（0﹣m）2+2m=﹣m2+2m，则Q（0，﹣m2+2m），

∵OQ=m2﹣2m，OM= =﹣ m，

当OM=OQ，即﹣ m=m2﹣2m，即m2﹣（2﹣ ）m=0，解得m1=0（舍去），m2=2﹣ ，此时Q点坐标为（0，5﹣2 ）；

当OM=MQ，作MH⊥OQ于H，如图1，则OH=QH，﹣2m=m2﹣2m﹣（﹣2m），

即m2+2m=0，解得m1=0（舍去），m2=﹣2，此时Q点坐标为（0，﹣8）；

当QM=QO，作QF⊥OM于F，如图2，则OF=MF=﹣ m，

∵OQ∥AB，

∴∠QOF=∠BAO，

∴Rt△OFQ∽Rt△ABO，

∴ = ，即 = ，整理得4m2﹣3m=0，解得m1=0（舍去），m2= （舍去），

综上所述，满足条件的Q点坐标为（0，5﹣2 ）或（0，﹣8）．

【解析】解：（1）设直线OA的解析式为y=kx，
把（﹣2，﹣4）代入得﹣2k=﹣4，解得k=2，
所以直线OA的解析式为y=2x；
所以答案是y=2x；
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．