Question

【题目】已知点A和点C分别在直线MN和直线EF上，点B在直线外，∠BAN=α，∠BCF=β．

（1）如图1，若MN∥EF，则∠B=　（用α，β的式子表示，不写证明过程）

（2）在（1）的条件下，点T在直线MN与直线EF之间，∠MAT=∠BAN，∠TCB=2∠TCE，求∠B与∠T之间的数量关系．

（3）如图2，若MN不平行于EF，直线AC平分∠MAB，且平分∠ECB，则∠B=　（用α，β的式子表示，不写证明过程）

Answer 1

【答案】（1）β-α；（2）∠ATC=-∠B+60°；（3）∠B=（β-α）

【解析】

（1）利用平行线的性质和三角形外角的性质求解即可；

（2）过T作TK∥MN，根据平行线的性质得出∠ATK=∠MAT，∠KTC=∠TCE，再由∠MAT=∠BAN，∠TCB=2∠TCE，表示出∠ATC=-（β-α）+60°，结合∠B=β-α，即可求出结果；

（3）根据题中条件可得：∠BAH=（180°-α），∠BCA=（180°-β），结合∠BAH=∠B+∠BCA，可得∠B.

解：（1）如图，设MN与BC交于点G，

∵MN∥EF，

∴∠BGN=∠BCF=β，

∴∠B=∠BGN-∠BAN=β-α，

故答案为：β-α；

（2）如图，过T作TK∥MN，

∵MN∥EF，

∴∠ATK=∠MAT，∠KTC=∠TCE，

∵∠MAT=∠BAN，∠TCB=2∠TCE，

∴∠ATC=∠ATK+∠KTC

=∠MAT+∠TCE

=∠BAN+∠TCB

=α+××（180°-∠BCF）

=α-β+60°

=-（β-α）+60°

∵∠B=β-α，

∴∠ATC=-∠B+60°；

（3）如图，

∵直线AC平分∠MAB，且平分∠ECB，

∴∠BAH=∠MAH=（180°-∠BAN）=（180°-α），

∠BCA=∠ECA=（180°-∠BCF）=（180°-β），

∵∠BAH=∠B+∠BCA，

∴（180°-α）=∠B+（180°-β），

∴∠B=（β-α）.