Question

【题目】问题情景：一节数学课后，老师布置了一道练习题：

如图1，已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠ABC＝90°，CD⊥AB于点D，点E，F分别在AD和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF

（1）阅读理解，完成解答：本题证明的思路可以用下列框图表示：

根据上述思路，请你完整地写出这道练习题的证明过程；

（2）特殊位置，证明结论：如图2，若CE平分∠ACD，其余条件不变，判断AE和BF的数量关系，并说明理由；

（3）知识迁移．探究发现：如图3，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上，且EC＝EF，请直接写出BF与AE的数量关系．（不必写解答过程）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AE＝BF；理由见解析；（3）AE＝BF．

【解析】

（1）先证明CE＝EF，利用AAS定理证明△CDE≌△EGF（AAS）即可；

（2）先证∠ACE＝∠2，再证明△ACE≌△BEF（AAS），即可得证AE＝BF；

（3）作EH⊥BC与H，设DE＝x，求出AE＝3x，再证出BF＝x，即可得出结论．

（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴∠A＝∠B＝45°，

∵CD⊥AB，

∴∠CDB＝90°，

∴∠DCB＝45°，

∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，

∴∠ECF＝∠EFC，

∴CE＝EF，

∵CD⊥AB，FG⊥AB，

∴∠CDE＝∠EGF＝90°，

在△CDE和△EGF中，，

∴△CDE≌△EGF（AAS）；

（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，

∵CE平分∠ACD，

∴∠ACE＝∠1，

∵∠1＝∠2，

∴∠ACE＝∠2，

在△ACE和△BEF中，，

∴△ACE≌△BEF（AAS），

∴AE＝BF；

（3）解：AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：

设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，

根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，

∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，

∴BH＝x，

∴CH＝BC﹣BH＝x，

∵EC＝EF，

∴FH＝CH＝x，

∴BF＝x﹣x＝x，

∴＝＝，

∴AE＝BF．