Question

【题目】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A＝30°，BC＝2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F．

（1）求劣弧PC的长；（结果保留π）

（2）求阴影部分的面积．（结果保留π）．

Answer 1

【答案】（1）劣弧PC的长为π；（2）S阴影＝π﹣．

【解析】

（1）根据垂径定理得PD⊥AB，进而根据含30°角的直角三角形的性质可得OF＝OP，从而求得半径为r，再利用弧长公式求解即可．

（2）根据勾股定理求得PF的长度，再根据三角形面积公式和扇形面积公式求解即可．

（1）∵点D是AB的中点，PD经过圆心，

∴PD⊥AB，

∵∠A＝30°，

∴∠POC＝∠AOD＝60°，OA＝2OD，

∵PF⊥AC，

∴∠OPF＝30°，

∴OF＝OP，

∵OA＝OC，AD＝BD，

∴BC＝2OD，

∴OA＝BC＝2，

∴⊙O的半径为2，

∴劣弧PC的长＝＝＝π；

（2）∵OF＝OP，

∴OF＝1，

∴PF＝＝，

∴S阴影＝S扇形﹣S△OPF＝﹣×1×＝π﹣．