Question

【题目】如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上．

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，求∠EFA的度数；

（2）在（1）的条件下，请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（ 1 ）中的其他条件不变，试问在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）60°（2）FE=FD（3）FE=FD仍然成立

【解析】

在OM、ON上分别截取OB、OC，使OB=OC，分别过点B、C作OM、ON的垂线，两垂线交于点Q，连接OQ，则△OBQ≌△OCQ；（1）已知∠A CB=90°，∠B=60°，根据三角形的内角和定理求得．∠BAC=30°．再由AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，根据角平分线的定义求得∠DAC=15°，∠ECA=45°．根据三角形外角的性质即可求得∠EFA=60°；（2）FE=FD，在AC上截取AG=AE，证明△EAF≌△GAF， 根据全等三角形的性质可得FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°．再证得∠DFC=∠GFC，利用ASA判定△FDC≌△FGC，由此可得FD=FG，从而证得 FE=FD；（3）（2）中的结论FE=FD仍然成立，证明类比（2）的方法完成.

如图所示，△OBQ≌△OCQ；

（1）如图2，∵∠ACB=90°，∠B=60°．

∴∠BAC=30°．

∵AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，

∴∠DAC=∠BAC=15°，∠ECA=∠ACB=45°．

∴∠EFA=∠DAC+∠ECA=15°+45°=60°．

（2）FE=FD．

如图2，在AC上截取AG=AE，连接FG．

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠EAF=∠GAF，

在△EAF和△GAF中

∵

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°．

∴∠GFC=180°﹣60°﹣60°=60°．

又∵∠DFC=∠EFA=60°，

∴∠DFC=∠GFC．

在△FDC和△FGC中

∵

∴△FDC≌△FGC（ASA），

∴FD=FG．

∴FE=FD．

（3）（2）中的结论FE=FD仍然成立．

同（2）可得△EAF≌△HAF，

∴FE=FH，∠EFA=∠HFA．

又由（1）知∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，

∴∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠ACB）==60°．

∴∠AFC=180°﹣（∠FAC+∠FCA）=120°．

∴∠EFA=∠HFA=180°﹣120°=60°．

同（2）可得△FDC≌△FHC，

∴FD=FH．

∴FE=FD．