Question

【题目】如图1，已知抛物线与y轴交于点A（0，﹣4），与x轴相交于B（﹣2，0）、C（4，0）两点，O为坐标原点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点E在x轴上，∠OEA+∠OAB=∠ACB，求BE的长；

（3）如图2，将抛物线y=ax2+bx+c向右平移n（n＞0）个单位得到的新抛物线与x轴交于M、N（M在N左侧），P为x轴下方的新抛物线上任意一点，连PM、PN，过P作PQ⊥MN于Q，是否为定值？请说明理由．

图1 图2

Answer 1

【答案】（1）y=x2-x-4；（2）14或10；（3）是定值，理由见解析.

【解析】（1）由题意设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-4），把（0，-4）代入求出a即可．

（2）由tan∠ACB==1，tan∠OAB==，可得tan∠OEA=，即=，从而根据正切函数的定义求出OE的值，进而可求BE的值；

（3）设平移后的解析式为y=(x+2-n)(x-4-n) ，点P的坐标为P(t,(t+2-n)(t-4-n))，

表示出PQ、 MQ、NQ后，代入+化简即可.

设（1）y=a(x+2)(x-4)，将（0，-4）代入，得

-8a=-4a,

∴a=，

∴y=(x+2)(x-4)，即y=x2-x-4；

(2). Rt△AOC中，tan∠ACB==1；

Rt△AOC中，tan∠OAB==，

∵∠OEA=∠ACB-∠OAB，

∴tan∠OEA==，即=，

∵OA=4，

∴OE=12，

∴BE=12+2=14或BE=12-2=10，

答：BE的长为14或10；

（3）平移后：y=(x+2-n)(x-4-n) ，

∴ M(-2+n,0)， N(4+n,0)，

设P(t,(t+2-n)(t-4-n))，

则PQ=-(t+2-n)(t-4-n)，

MQ=t-(-2-n)=t+2-n， NQ=4+n-t，

∴+=+=- (t-4-n)+(t+2-n)=3为定值.