Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O是坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点．若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，则点E的坐标____________．

Answer 1

【答案】(1，0)

【解析】分析：由于C、D是定点，则CD是定值，如果的周长最小，即有最小值．为此，作点D关于x轴的对称点D′，当点E在线段CD′上时的周长最小．

详解：

如图,作点D关于x轴的对称点D′,连接CD′与x轴交于点E，连接DE.

若在边OA上任取点E′与点E不重合,连接CE′、DE′、D′E′

由DE′+CE′=D′E′+CE′>CD′=D′E+CE=DE+CE，

可知△CDE的周长最小，

∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，

∴BC=3,D′O=DO=2,D′B=6，

∵OE∥BC，

∴Rt△D′OE∽Rt△D′BC,有

∴OE=1，

∴点E的坐标为(1,0).

故答案为：(1,0).