Question

【题目】已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0

（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；

（2）若关于x的二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2，且抛物线的开口向上时，求此抛物线的解析式；

（3）在坐标系中画出（2）中的函数图象，分析当直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点时b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）所求抛物线的解析式为：y=x2﹣2x；（3）当b＞﹣时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点．

【解析】试题分析：（1）二次项系数m的值不确定，分为m=0，m≠0两种情况，分别证明方程有实数根；
（2）设抛物线与x轴两交点的横坐标为x1，x2，则两交点之间距离为|x1-x2|=2，再与根与系数关系的等式结合变形，可求m的值，从而确定抛物线的解析式；
（3）联立方程组，有解时，求出b的取值范围．

试题解析：

（1）分两种情况讨论．

①当m=0时，方程为x﹣2=0，x=2．

∴m=0时，方程有实数根．

②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式

△=[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣2）

=9m2﹣6m+1﹣8m2+8m=m2+2m+1

=（m+1）2≥0，

∴m≠0时，方程有实数根．

故无论m取任何实数时，方程恒有实数根．

综合①②可知，m取任何实数，方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0恒有实数根；

（2）设x1，x2为抛物线y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2与x轴交点的横坐标．

则有x1+x2= ，x1x2=

由|x1﹣x2|==||，

由|x1﹣x2|=2得||=2，

∴=2或=﹣2

∴m=1或m=﹣

而抛物线开口向上，

∴m=1

∴所求抛物线的解析式为：y=x2﹣2x；

（3）在（2）的条件下，直线y=x+b与抛物线y1，y2组成的图象只有两个交点，

联立得， ，

∴x2﹣3x﹣b=0，

∴△=9+4b＞0，解得b＞﹣ ；

当b＞﹣时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点．