Question

【题目】平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=0D=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．
发现：

（1）当α=0°，即初始位置时，点P直线AB上．（填“在”或“不在”）求当α是多少时，OQ经过点B．
（2）在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；
（3）如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a及S阴影
拓展：
如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x＞0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．
探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值．

Answer 1

【答案】
（1）在
（2）解：如图2，连接AP，

∵OA+AP≥OP，

当OP过点A，即α=60°时，等号成立，

∴AP≥OP﹣OA=2﹣1=1，

∴当α=60°时，P、A之间的距离最小，

∴PA的最小值=1

（3）解：如图2，

设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，

过点R作RE⊥KQ于点E，在Rt△OPH中，PH=AB=1，OP=2，

∴∠POH=30°，

∴α=60°﹣30°=30°，

∵AD∥BC，

∴∠RPO=∠POH=30°，

∴∠RKQ=2×30°=60°，

∴S扇形KRQ= = ，

在Rt△RKE中，RE=RKsin60°= ，

∴S△PRK= RE= ，∴S阴影= + ；

拓展：如图5，

∵∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，

∴△AON∽△BMN，

∴ ，即 ，

∴BN= ，

如图4，

当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，BQ=AF= ﹣AO=2 ﹣1，

∴x的取值范围是0＜x≤2 ﹣1；

探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；

①如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O′，

则∠KSO=∠KTB=90°，

作KG⊥OO′于G，在Rt△OSK中，

OS= =2，

在Rt△OSO′中，SO′=OStan60°=2 ，KO′=2 ﹣ ，

在Rt△KGO′中，∠O′=30°，

∴KG= KO′= ﹣ ，

∴在Rt△OGK中，sinα= = = ，

②当半圆K与AD相切于T，如图6，

同理可得sinα= = = = ；

③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，

∴α=60°，

∴sinα=sin60 ，

综上所述sinα的值为： 或 或 ．

【解析】解：发现：（1）在，
当OQ过点B时，在Rt△OAB中，AO=AB，
∴∠DOQ=∠ABO=45°，
∴α=60°﹣45°=15°；
（1）在，当OQ过点B时，在Rt△OAB中，AO=AB，得到∠DOQ=∠ABO=45°，求得α=60°﹣45°=15°；（2）如图2，连接AP，由OA+AP≥OP，当OP过点A，即α=60°时，等号成立，于是有AP≥OP﹣OA=2﹣1=1，当α=60°时，P、A之间的距离最小，即可求得结果（3）如图2，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E，在Rt△OPH中，PH=AB=1，OP=2，得到∠POH=30°，求得α=60°﹣30°=30°，由于AD∥BC，得到∠RPO=∠POH=30°，求出∠RKQ=2×30°=60°，于是得到结果；
拓展：如图5，由∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，得到△AON∽△BMN求出BN= ，如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，BQ=AF= ﹣AO=2 ﹣1，求出x的取值范围是0＜x≤2 ﹣1；
探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；
①如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O′，于是得到∠KSO=∠KTB=90°，作KG⊥OO′于G，在Rt△OSK中，求出OS= =2，在Rt△OSO′中，SO′=OStan60°=2 ，KO′=2 ﹣ 在Rt△KGO′中，∠O′=30°，求得KG= KO′= ﹣ ，在Rt△OGK中，求得结果；②当半圆K与AD相切于T，图6，同理可得sinα的值③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，得到α=60°于是结论可求．