Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交CD于点E，∠ADC的平分线DF交AB于点F．

（1）若AD＝4，AB＝6，求BF的长．

（2）求证：四边形DEBF是平行四边形．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义即可得到结论；

（2）由在ABCD中，BE是∠ABC的平分线，DF是∠ADC的平分线，易证得∠ADF＝∠CBE，利用ASA可证△ADF≌△CBE，继而证得DE＝FB，根据DE∥BF，则可证得四边形DEBF是平行四边形，

解：（1）在平行四边形ABCD中，

∵AB∥CD，

∴∠AFD＝∠CDF，

∵∠ADC的平分线DF交AB于点F．

∴∠ADF＝∠CDF，

∴∠ADF＝∠AFD，

∴AF＝AD＝4，

∵AB＝6，

∴；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝CB，AB＝CD，∠A＝∠C，∠ADC＝∠ABC．

又∵BE是∠ABC的平分线，DF是∠ADC的平分线

∴∠ADF＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC，

∴∠ADF＝∠CBE，

∴△ADF≌△CBE（ASA）．

∴AF＝CE．

∴AB﹣AF＝CD﹣CE

即DE＝FB．

又∵DE∥BF，

∴四边形DEBF是平行四边形．