Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知A（2，0），以OA为一边在第四象限内画正方形OABC，D（m，0）为x轴上的一个动点，以BD为一边画正方形BDFE（点E在直线x=2的右侧）．

（1）当m>2时（如图1），试判断线段AE与CD的数量关系，并说明理由．

（2）当AE=时，求点F的坐标．

（3）连接CF、OF，请直接写出CF+OF的最小值．

Answer 1

【答案】（1）AE=CD（2）点F为（7，-3）或（-3，7）（3）2

【解析】分析：（1）由正方形OABC，可得BC=BA，∠ABC=90°，由等腰直角三角形BDE，可得BD=BE，∠DBE=90°，再根据∠CBD=∠ABE，即可得到△CBD≌△ABE，进而得出CD=AE；

（2）当点D在点A右侧时，根据CD=AE可求AD=3,再证明△BAD≌△DHF，易得结论；当点D在点A左侧时，方法同上；

（3）根据轴对称的性质易求CF+OF的最小值为.

详解：（1）AE=CD．理由如下：

∵四边形OABC、四边形BDFE是正方形，

∴ ∠CBA=∠DBE=90°且CB=AB，BD=BE

∴∠CBD=∠ABE

在△CBD和△ABE中，

∴△CBD≌△ABE，

∴CD=AE．

（2）当点D在点A右侧时如图，

由（1）可知CD=AE=，

∴，

∴AD=5-2=3

过F点作FH⊥x轴于点H，

易证得△BAD≌△DHF，

∴DH=AB=2，FH=AD=3，

∴OH=OD+DH=5+2=7,

故点F（7，-3）

当点D在点A左侧时如图，

易证得△CBD≌△ABE，

∴CD=AE=，

∴，

∴AD=5+2=7

过F点作FG⊥x轴于点G，

易证得△BAD≌△DGF，

∴DG=AB=2，FG=AD=7.

∴OG=OD-DG=5-2=3,

故点F（-3，7）

综上，点F为（7，-3）或（-3，7）.

（3）

点睛: 解题的难点在于作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的对应边相等得出结论．