Question

【题目】已知：如图1，在平面直角坐标系中，点A，B，E分别是x轴和y轴上的任意点. BD是∠ABE的平分线，BD的反向延长线与∠OAB的平分线交于点C.

探究： （1）求∠C的度数.

发现： （2）当点A，点B分别在x轴和y轴的正半轴上移动时，∠C的大小是否发生变化？若不变，请直接写出结论；若发生变化，请求出∠C的变化范围.

应用：（3）如图2在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝310°，CF平分∠DCB，CF的反向延长线与∠EDC外角的平分线相交于点P，求∠P的度数．

Answer 1

【答案】（1）∠C=45°；（2）不变.∠C=∠AOB =45°； (3) 25°.

【解析】

（1）先确定∠ABE与∠OAB的关系，∠ABE=∠OAB+90°，再根据角平分线和三角形的外角求得∠ACB的度数；

（2）设∠DBC=x，∠BAC=y，再根据BC平分∠DBO，AC平分∠BAO可知∠CBO=∠DBC=x，∠OAC=∠BAC=y．再由∠DBO是△AOB的外角，∠DBC是△ABC的外角可得出关于x、y，∠C的方程组，求出∠C的值即可；

（3）延长ED，BC相交于点G，易求∠G的度数，由三角形外角的性质可得结论.

（1）∵∠ABE=∠OAB+∠AOB，∠AOB =90°，

∴∠ABE=∠OAB+90°，

∵BD是∠ABE的平分线，AC平分∠OAB，

∴∠ABE=2∠ABD，∠OAB=2∠BAC，

∴2∠ABD=2∠BAC+90°，

∴∠ABD=∠BAC+45°，

又∵∠ABD= ∠BAC +∠C，

∴∠C=45°．

（2）不变.∠C=∠AOB =45°.

理由如下：

设∠DBA=x，∠BAC=y，

∵BD平分∠EBA，AC平分∠BAO．

∴∠EBD=∠DBA=x，∠OAC=∠BAC=y．

∵∠EBA是△AOB的外角，∠DBA是△ABC的外角，

∴，

∴∠C=45°．

(3) 延长ED，BC相交于点G.

在四边形ABGE中，

∵∠G＝360°－(∠A＋∠B＋∠E)＝50°，

∴∠P＝∠FCD－∠CDP＝ (∠DCB－∠CDG)

＝∠G＝×50°＝25°.