Question

【题目】在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，以斜边AB为边向Rt△AEB形外作正方形ABCD，若正方形ABCD的对角线交于点O（如图1）．

（1）求证：EO平分∠AEB；

（2）猜想线段OE与EB、EA之间的数量关系为　 　（直接写出结果，不要写出证明过程）；

（3）过点C作CF⊥EB于F，过点D作DH⊥EA于H，CF和DH的反向延长线交于点G（如图2），求证：四边形EFGH为正方形．

Answer 1

【答案】（1）求证见解析；（2）OE＝EB+EA；（3）见解析．

【解析】

（1）延长EA至点F，使AF＝BE，连接OF，由SAS证得△OBE≌△OAF，得出OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，由等腰三角形的性质与等量代换即可得出结论；

（2）判断出△EOF是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出结论；

（3）先根据ASA证得△ABE≌△ADH，△ABE≌△BCF，△ADH≌△DCG，△DCG≌△CBF，得出FG＝EF＝EH＝HG，再由∠F＝∠H＝∠AEB＝90°，由此可得出结论．

（1）证明：延长EA至点F，使AF＝BE，连接OF，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BOA＝90°，OB＝OA，

∵∠AEB＝90°，

∴∠OBE+∠OAE＝360°﹣90°﹣90°＝180°，

∵∠OAE+∠OAF＝180°，

∴∠OBE＝∠OAE，在△OBE与△OAF中，

，

∴△OBE≌△OAF（SAS），

∴OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，

∴∠AEO＝∠AFO，

∴∠BEO＝∠AEO，

∴EO平分∠AEB；

（2）解：OE＝EB+EA，理由如下：

由（1）得：△OBE≌△OAF，

∴OE＝OF，∠BOE＝∠AOF，

∵∠BOE+∠AOE＝90°，

∴∠AOF+∠AOE＝90°，

∴∠EOF＝90°，

∴△EOF是等腰直角三角形，

∴2OE2＝EF2，

∵EF＝EA+AF＝EA+EB，

∴2OE2＝（EB+EA）2，

∴OE＝EB+EA，

故答案为：OE＝EB+EA；

（3）证明：∵CF⊥EB，DH⊥EA，

∴∠F＝∠H＝∠AEB＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠BAD＝90°，

∴∠EAB+∠DAH＝90°，∠EAB+∠ABE＝90°，∠ADH+∠DAH＝90°，

∴∠EAB＝∠HDA，∠ABE＝∠DAH．

在△ABE与△ADH中，

，

∴△ABE≌△ADH（ASA），

∴BE＝AH，AE＝DH，

同理可得：△ABE≌△BCF，△ADH≌△DCG，△DCG≌△CBF，

∴BE＝CF，AE＝BF，AH＝DG，DH＝CG，DG＝CF，CG＝BF，

∴CG+FC＝BF+BE＝AE+AH＝DH+DG，

∴FG＝EF＝EH＝HG，

∵∠F＝∠H＝∠AEB＝90°，

∴四边形EFGH为正方形．