Question

【题目】AC是□ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD、BC 于点E、F.

（1）求证：AE=CF；

（2）连接AF，CE.

①当EF⊥AC时，四边形AFCE是什么四边形？请证明你的结论；

②若AB=1，BC=2，∠B=60°，则四边形AFCE为矩形时，求EF的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①菱形，证明见解析，②

【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质可知OA=OC，∠AEO=∠OFC，∠EAO=∠OCF，证出△AOE≌△COF，即可得出AE=CF．
（2）①先证明四边形AFCE是平行四边形，由EF⊥AC，即可得出四边形AFCE是菱形；
②由矩形的性质得出EF=AC，∠AFB=∠AFC=90°，求出AF、CF，由勾股定理求出AC，即可得出EF的长．

试题解析：（1）∵O是AC中点

∴AO=C0

∵ABCD是平行四边形

∴AD∥BC

∴∠DAC=∠BCA

在ΔAOE和ΔCOF中

∴ΔAOE ≌ ΔCOF(ASA)

∴AE=CF

（2）①菱形

∵AE∥CF且AE=CF

∴AECF是平行四边形

∵AC⊥EF

∴AECF是菱形

②∵AECF是矩形

∴AF⊥BC

∵∠B=60°AB=1

∴BF= AF=

∵BC=2

∴FC=

在RtΔAFC中AF=FC=

∴AC=

又∵AFCE是矩形

∴EF=AC=