Question

【题目】如图，O为原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，连结CD，某抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D、点E（1，1）．

（1）若该抛物线过原点O，则a=；
（2）若点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，要使得符合条件的Q点的个数是4个，则a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】
（1）﹣
（2）a＜﹣ 或a＞
【解析】解：（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，如图1，

∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠DBF=∠BAO，

又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，

在△AOB和△BFD中，

，

∴△AOB≌△BFD（AAS）

∴DF=BO=1，BF=AO=2，

∴D的坐标是（3，1），

把D（3，1），E（1，1），O（0，0）代入y=ax2+bx+c，

得 ，

解得a=﹣ ，

故答案为：﹣ ；

（ 2 ）如图2，

∵D（3，1），E（1，1），

抛物线y=ax2+bx+c过点E、D，代入可得 ，解得 ，所以y=ax2﹣4ax+3a+1．

分两种情况：

①当抛物线y=ax2+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个．

（i）当点Q在x轴的下方时，直线OQ与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个；

（ii）当点Q在x轴的上方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，所以3a+1＜0，解得a＜﹣ ；

②当抛物线y=ax2+bx+c开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个，

（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个；

（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q才两个．

根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB=∠BAO，

∴tan∠QOB=tan∠BAO= = ，此时直线OQ的斜率为﹣ ，则直线OQ的解析式为y=﹣ x，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣ x有两个不相等的实数根，所以△=（﹣4a+ ）2﹣4a（3a+1）＞0，即4a2﹣8a+ ＞0，解得a＞ （a＜ 舍去）

综上所示，a的取值范围为a＜﹣ 或a＞ ．

故答案为：a＜﹣ 或a＞ ．

（1）过点D作DF⊥x轴于点F，易证△AOB≌△BFD，从而求出点D的坐标，再利用待定系数法求出二次函数的解析式可得a的值；
（2）把D、E的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c可得y=ax2﹣4ax+3a+1．然后分抛物线y=ax2+bx+c开口向下和开口向上来讨论求解.