Question

【题目】(1)如图（1）在RtΔABC中，∠ACB=900,∠B=600，在图中作出∠ACB的三等分线CD,CE.（要求：尺规作图，保留痕迹，不定作法）

(2)由（1）知，我们可以用尺规作出直角的三等分线，但是仅仅使用尺规却不能把任意一个角分成三等分，为此，人们发明了许多等分角的机械器具，如图（2）是用三张硬纸片自制的一个最简单的三分角器，与半圆O相接的AB带的长度与半圆的半径相等：BD带的长度任意，它的一边与直线AC形成一个直角，且志半圆相切于点B，假设需要将∠KSM三等分，如图（3），首先将角的顶点S置于BD上，角的一边SK经过点A，另一边SM与半圆相切，连接SO，则SB,SO为∠KSM的三等分线，请你证明。

图（1） 图（2） 图（3）

Answer 1

【答案】见解析

【解析】试题分析：（1）如图射线CD、CE为所求是三等分线；
（2）如图，设SM与半圆O相切于点N，连接ON．则∠ONS=90°，只要证明△SBA≌△SBO，△SOB≌△SON，即可解决问题；

试题解析：

（1）如图射线CD、CE为所求是三等分线．

（2）如图，设SM与半圆O相切于点N，连接ON．则∠ONS=90°，

∵DB⊥AC，DB与半圆相切于点BM，
∴∠ABS=∠OBS=90°，
∵BA=BO．SB=SB，
∴△SBA≌△SBO，
∴∠ASB=∠BSO，
∵SO=SO．OB=ON，∠SBO=∠SNO，
∴△SBO≌△SNO，
∴∠BSO=∠OSN，
∴∠ASB=∠BSO=∠OSC，
∴SB，SO为∠KSM的三等分线．