Question

【题目】如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于D，连结DC、DA、OA、OC，四边形OADC为平行四边形．

（1）求证：△BOC≌△CDA．

（2）若AB=2，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】分析: （1）根据内心性质得∠1=∠2，∠3=∠4，则AD=CD，于是可判断四边形OADC为菱形，则BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，易得OA=OC，∠2=∠3，所以OB=OC，可判断点O为△ABC的外心，则可判断△ABC为等边三角形，所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，再根据平行四边形的性质得∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA=OB，则根据“SAS”证明△BOC≌△CDA；

（2）作OH⊥AB于H，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOH=30°，根据垂径定理得到BH=AH=AB=1，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到OH=BH=，OB=2OH=，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S阴影部分=S扇形AOB-S△AOB进行计算即可.

详解:

（1）证明：∵O是△ABC的内心，

∴∠2=∠3，∠5=∠6，

∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，

由AD∥CO,AD=CO，∴∠4=∠6，

∴△BOC≌△CDA（AAS）

(2)由（1）得，BC=AC,∠3=∠4=∠6，

∴∠ABC=∠ACB

∴AB=AC

∴△ABC是等边三角形

∴O是△ABC的内心也是外心

∴OA=OB=OC

设E为BD与AC的交点，BE垂直平分AC.

在Rt△OCE中，CE=AC=AB=1，∠OCE=30°，

∴OA=OB=OC=

∵∠AOC=120°，

∴

=

=

点睛: 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计算.