Question

【题目】如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC．以下结论：①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④∠A+2∠BEC＝180°；⑤DB平分∠ADC．其中正确的结论有（　　）

A.2个B.3个C.4个D.5个

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、平行线的判定、菱形的判定、等边三角形的判定判断即可．

解：①∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP，

∴AD平分△ABC的外角∠FAC，

∴∠FAD＝∠DAC，

∵∠FAC＝∠ACB+∠ABC，且∠ABC＝∠ACB，

∴∠FAD＝∠ABC，

∴AD∥BC，故①正确．

②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC，

∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC＝∠ABC+∠MBC＝×180°＝90°，

∴EB⊥DB，故②正确，

③∵∠DCP＝∠BDC+∠CBD，2∠DCP＝∠BAC+2∠DBC，

∴2（∠BDC+∠CBD）＝∠BAC+2∠DBC，

∴∠BDC＝∠BAC，

∵∠BAC+2∠ACB＝180°，

∴∠BAC+∠ACB＝90°，

∴∠BDC+∠ACB＝90°，故③正确，

④∵∠BEC＝180°﹣（∠MBC+∠NCB）＝180°﹣（∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC）＝180°﹣（180°+∠BAC），

∴∠BEC＝90°﹣∠BAC，

∴∠BAC+2∠BEC＝180°，故④正确，

⑤不妨设BD平分∠ADC，则易证四边形ABCD是菱形，推出△ABC是等边三角形，这显然不可能，故错误．

故选：C．