Question

【题目】如图，PB与⊙O相切于点B，过点B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连结PA，AO，AO的延长线交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）若tan∠BAD=，且OC=4，求BD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）连接OB，由SSS证明△PAO≌△PBO，得出∠PAO=∠PBO=90°即可；

（2）连接BE，证明△PAC∽△AOC，证出OC是△ABE的中位线，由三角形中位线定理得出BE=2OC，由△DBE∽△DPO可求出．

试题解析：（1）连结OB，则OA=OB．如图1，

∵OP⊥AB，

∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB．

在△PAO和△PBO中，

∵，

∴△PAO≌△PBO（SSS），

∴∠PBO=∠PAO．∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，

∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；

（2）连结BE．如图2，

∵在Rt△AOC中，tan∠BAD=tan∠CAO=，且OC=4，

∴AC=6，则BC=6．在Rt△APO中，∵AC⊥OP，

∴△PAC∽△AOC，∴AC2=OCPC，解得PC=9，

∴OP=PC+OC=13．在Rt△PBC中，由勾股定理，得PB=，

∵AC=BC，OA=OE，即OC为△ABE的中位线．

∴OC=BE，OC∥BE，∴BE=2OC=8．

∵BE∥OP，∴△DBE∽△DPO，

∴，即，解得BD=．