Question

【题目】已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA中点，点P在BC上以每秒1个单位的速度由C向B运动，设运动时间为t秒．

（1）△ODP的面积S= ．
（2）t为何值时，四边形PODB是平行四边形？
（3）在线段PB上是否存在一点Q，使得ODQP为菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）若△OPD为等腰三角形，请写出所有满足条件的点P的坐标（请直接写出答案，不必写过程）

Answer 1

【答案】
（1）10
（2）

解：∵PB∥OD，

∴当PB=OD时，四边形PODB是平行四边形，

∵OD=5，

∴PB=5，

∴PC=BC﹣PB=10﹣5=5，

∵点P在BC上以每秒1个单位的速度由C向B运动，

∴t=5

（3）

解：当OD=OP=PQ=5时，ODQP为菱形，

在Rt△OPC中，由勾股定理得：

PC= = =3，

∴t=3，CQ=CP+PQ=3+5=8，

∴Q点的坐标为（8，4）

（4）

解：△OPD为等腰三角形时，分三种情况：

①如果O为顶点，那么OP=OD=5，

由勾股定理可以求得PC=3，此时P1（3，4）；

②如果P为顶点，那么PO=PD，

作PE⊥OA于E，则OE=ED=2.5，此时P2（2.5，4）；

③如果D为顶点，那么DP=DO=5，

作DF⊥BC于F，由勾股定理，得PF=3，

∴P3C=5﹣3=2或P4C=5+3=8，此时P3（2，4），P4（8，4）．

综上所述，满足条件的点P的坐标为P1（3，4），P2（2.5，4），P3（2，4），P4（8，4）．

【解析】解：（1）∵O为坐标原点，A（10，0），四边形OABC为矩形，C（0，4），
∴OA=BC=10，OC=4，
∵点D是OA中点，
∴OD=DA= OA=5，
∴△ODP的面积S= ODOC= ×5×4=10．
所以答案是10；
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行四边形的性质的相关知识，掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．