Question

【题目】根据题意解答
（1）探究：如图①，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于点E，若AE=8，求四边形ABCD的面积．
（2）应用：如图②，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，AE⊥BC于点E，若AE=20，BC=10，CD=6，则四边形ABCD的面积为 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：探究：如图1，过A作AF⊥BC，交CB的延长线于F，

∵AE⊥CD，∠C=90°

∴∠AED=∠F=∠C=90°，

∴四边形AFCE是矩形，

∴∠FAE=90°，

∵∠DAB=90°，

∴∠DAE=∠BAF=90°﹣∠BAE，

在△AFB和△AED中， ，

∴△AFB≌△AED（AAS），

∴AE=AF=8，S△AFB=S△AED，

∵四边形AFCE是矩形，

∴四边形AFCE是正方形，

∴S正方形AFCE=8×8=64，

∴S四边形ABCD

=S四边形ABCE+S△AED

=S四边形ABCE+S△AFB

=S正方形AFCE

=64；

（2）160
【解析】（2）应用：如图2，过A作AF⊥CD，交CD的延长线于F， ∵AE⊥CD，
∴∠AED=∠F=90°，
∴∠FAE+∠BCD=180°，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠EAF，
∴∠BAD﹣∠EAD=∠EAF﹣∠EAD，
∴∠BAE=∠FAD，
在△AEB和△AFD中，
，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AE=AF=19，BE=DF，
设BE=DF=x，
∵BC=10，CD=6，
∴CE=10﹣x，CF=6+x，
由勾股定理得；AC2=AE2+CE2=AF2+CF2 ，
∵AE=AF，
∴CE=CF，
即10﹣x=6+x，
解得：x=2，
∴CE=CF=8，
∵△AEB≌△AFD
∴S△AEB=S△AFD ，
∴S正方形AFCE= ×8×20+ ×8×20=160．
∴S四边形ABCD
=S△AEB+S四边形AECD
=S△AFD+S四边形AECD
=S正方形AFCE
=160．
所以答案是：160．